Dinàmica celest |
El Sistema Solar Mesura de la velocitat de la llum La Lluna El fenomen de les marees Viatge per l'interior de la Terra Desviació cap a l'est d'un cos que cau (I) Desviació cap a l'est d'un cos que cau (II) Xoc d'un meteorit
La forma de la Terra |
L'experiència de Cavendish. La massa de la Terra | |||||
|
En aquesta pàgina es descriu una experiència simulada que mesura la constant G de la Gravitació Universal. Es tracta d'una experiència molt diferent a la de Cavendish que descriuen la major part dels llibres de text.
L'experiència de Cavendish. La massa de la TerraLa massa de la Terra es pot determinar una vegada es coneix el valor de la constant G.
Apliquem la segona llei de Newton a un cos de massa m que cau lliurement; sabem que l'acceleració de caiguda, en les proximitats de la superfície de la Terra, és g,
El radi R de la Terra és conegut i g també es pot mesurar mitjançant diverses experiències; una de les més simples és la mesura del temps t que tarda en caure un cos d'una altura determinada h, h = gt2/2. Si l'acceleració de la gravetat mesurada és g = 9.8 m/s2 i el radi de la Terra, suposada esfèrica, és R = 6.37·106 m, tenim que la massa de la Terra és
Podem calcular també la densitat mitjana de la Terra si dividim la massa M pel volum d'una esfera de radi R; resulta ρ = 5506.5 kg/m3 = 5.5 g/cm3. Per tal de “pesar la Terra” hem de determinar el valor de G; ho farem mitjançant una experiència similar a la que va fer Cavendish.
En la balança de torsió de Cavendish les forces d'atracció entre les masses m i M produeixen un moment 2F·d, on d és el braç de la força d'atracció F. S'estableix l'equilibri quan el moment s'iguala al producte K·θ, on K és la constant de torsió del fil i θ l'angle que ha girat el fil, 2F·d = K·θ (1) Si coneixem el valor de la constant de torsió K i mesurem l'angle girat θ es pot calcular la força F. Es pot determinar la dependència de la força F amb la separació r entre els centres de la petita esfera de massa m i l'esfera major de massa M. Si coneixem F, les masses m i M i la separació r s'aïlla la constant G de la fórmula de la força d'atracció
2md2 és el moment d'inèrcia de les dues masses m situades a una distància d de l'eix de rotació (el fil de torsió); es negligeix el moment d'inèrcia de la vareta de suport. Les característiques concretes d'una balança de Cavendish (per exemple, una de la marca Leybold) són:
Descripció de l'experiènciaLes forces que actuen sobre la partícula de massa m són:
La força restauradora F1 que es produeix quan el pèndol està desviat un angle petit θ respecte de la posició d'equilibri. La component tangencial del pes val mg·sinθ, com s'indica en la part dreta de la figura. Si l'angle θ és petit podem escriure F1 ≈ mg·sinθ = mgr/l Les components d'aquesta força són (vegeu la figura més avall) F1x = -F1·x/r
= -mgx/l
La força F2 d'atracció entre la partícula de massa m i la partícula de massa M té, per mòdul,
Les components d'aquesta força són L'equació del moviment de la partícula de massa m és max= F1x
+ F2x Si considerem que el desplaçament r del pàndol respecte de la posició d'equilibri és petit en comparació al radi R de la partícula de massa M, les components F2x i F2y s'expressaran
Les equacions del moviment s'escriuen en forma d'equació diferèncial
o bé
Es resol el sistema de dues equacions diferencials de segon ordre amb les condicions inicials t = 0, x = 0, y = 0, dx/dt = 0, dy/dt = 0, és a dir, la partícula de massa m parteix de l'origen amb velocitat nul·la.
Cas particular Quan ω ≈ ω0 la solució de la primera equació diferèncial esdevé
La solució de la primera equació diferèncial es converteix en
Per a la solució de la segona equació diferèncial
La solució de la segona equació diferencial es converteix en
La distància r de la partícula de massa m al origen és
La distància r s'incrementa proporcionalment al temps t, la partícula descriu una espiral a partir de l'origen. Hem disenyar l'experiment simulat de manera que la freqüència
coincidisca amb una gran aproximació amb la velocitat angular ω de rotació de la partícula de massa M.
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Nou i a continuació es pitja el botó Comença. Observem el moviment circular de la partícula de massa M; el pèndol estarà pràcticament immòbil en l'origen. En la part superior esquerre de la miniaplicació (applet) s'indica l'instant t en segons i la desviació del pèndol (distància a l'origen) r en mm. Introduïm el temps t mesurat en hores en el control d'edició temps i pitgem el botó Comença.
Tornem a introduir un altre temps mesurat en hores en el control d'edició temps i pitgem el botó Comença, i així successivament. Quan tinguem suficients resultats “experimentals” pitgem el botó Gràfica. Per a començar una altra experiència, amb altres dades de la massa M, del radi R i de la velocitat angular de rotació ω, es pitja el botó Nou. Podem canviar l'escala d'observació si activem algun dels botons de radi: dm, cm i mm. En la primera escala dm observem el moviment circular de la partícula de massa M; en les altres escales està molt allunyada de l'origen i desapareix de la finestra de la miniaplicació (applet). El pèndol no es desviarà quasi de la seua posició d'equilibri si ω és diferent de ω0, com podem comprovar en la miniaplicació (applet) i calcular a partir de les equacions del moviment. Exemple
La freqüència
es diferencia molt poc de la freqüència angular d'oscil·lació del pèndol perquè el segon terme que conté la constant G és molt petit. Introduïm la velocitat angular de rotació ω=3 rad/s i calculem x i y en l'instant t = 1 hora = 3600 s,
El mateix ocorre per a y. El pèndol no es desvia quasi de l'origen, fins i tot després d'un temps molt gran. La desviació s'incrementa apreciablement quan ω ≈ ω0= 2.857739; al cap d'una hora la desviació del pèndol és
Ho podem observar activant el botó de radi mm. S'ha de procurar introduir un temps t que no siga tan gran qu deixe de complir-se la condició que r << R, en la qual ens hem basat per tal d'obtenir una expressió simple que descriga aproximadament el moviment del pèndol. Comproveu que quan ω ≈ ω0 la desviació r resulta:
En l'experiència simulada s'obtindrà el valor de G a partir de la mesura del pendent de la recta
Quan es pitja el botó Gràfica es traça una línia recta i es dibuixen una sèrie de punts de color roig que representen els resultats “experimentals”:
Si introduïm les dades següents:
i pitgem el botó Nou, canviem diverses vegades el valor del temps t, pitgem el botó Comença i, finalment, pitgem el botó Gràfica, observem la representació gráfica de les dades "experimentals" i de la recta. Anotem el valor del pendent, 0.328. mm/h. Amb aquesta dada calculem G,
|
Sheppard D. Using one pendulum and a rotating mass to measure the Universal Gravitational Constant. Am. J. Phys. 38 (1970), 380.
Mesura de G
(2)
