Dinàmica celest

Desviació cap a l'est en un lloc de latitud l, en l'hemisferi Nord

L'acceleració de la gravetat

En la pàgina anterior Desviació cap a l'est d'un cos que cau (I) hem suposat que la força d'atracció entre el cos i la Terra és central i conservativa i, per tant, el cos que cau descriu una el·lipse per a l'observador inercial. Hem determinat l'equació de la trajectòria i la seua intersecció amb la superfície terrestre. El càlcul, com hem vist, és bastant laboriós.

En aquesta pàgina obtindrem la fórmula de la desviació cap a l'est d'un cos que cau des d'una altura h, suposant, de nou, que el cos està situat a una altura h sobre la superfície d'un planeta de radi R i en el seu pla equatorial, i que gira amb velocitat angular constant w al voltant de l'eix que passa pels pols.

El cos està inicialment en repós a una altura h per a l'observador terrestre (no inercial), però està situat a una distància R+h del centre de la Terra i du una velocitat (h+R)·w respecte del sistema de referència fix (inercial); descriu, per tant, una òrbita el·líptica que intersecta la superfície del planeta en un punt P. Al temps que el cos es mou, l'observador no inercial situat inicialment a sota del cos descriu un arc de circumferència. El resultado és una desviació del cos cap a l'est en relació a l'observador no inercial.

El càlcul de la desviació es basa en dues premisses:

• la força d'atracció és central i, per tant, el moment angular es manté constant,
• l'altura h és molt petita en comparació amb el R radi del planeta.

L'explicació d'aquesta desviació és molt més evident per als estudiants que la que es fa d'ordinari a partir de la fórmula de l'acceleració de Coriolis en el sistema de referència en rotació.

Desviació cap a l'est en l'Equador

Com veiem en la figura, el moment angular inicial de la partícula de massa m és L = m(R+h)2w El moment angular en l'instant t és L= mrvq . on vq és la component r(dq /dt) de la velocitat, en coordenades polars, perpendicular a la direcció radial.

Com que el moment angular es manté constant, tenim la relació següent

on z és l'altura sobre la superfície del planeta, r = R+z, en l'instant t.

Si tenim en compte que h i z són molt menors que R obtenim una relació aproximada més simple

Per tal de poder integrar aquesta equació hem de cercar la dependència de z amb el temps t.

Com que z = h - gt²/2, on g és l'acceleració de la gravetat (suposada constant) dirigida radialment cap al centre de la Terra,

Com veiem en la figura, l'angle que formen l'observador O i l'objecte en la posició P sobre la superfície de la Terra és la diferència q-w t, i l'arc o distància entre el punt O i el punt P és (arc = radi·angle)

Desviació cap a l'est en un lloc de latitud l, en l'hemisferi Nord

Podem generalitzar aquest resultat per a un objecte situat a una altura h sobre la superfície de la Tierra i en un lloc de latitud l . Com veiem en la figura, l'objecte du una velocitat w·(R+h)·cosl i té, per tant, un moment angular L= w (R+h)2cosl Els càlculs són semblants als que hem fet: cal substituir w per w·cosl.

I arribem a la fórmula de la desviació cap a l'est,

L'acceleració de la gravetat

Un tractament més exacte dóna un valor de g un poc inferior al valor g₀ de l'acceleració de la gravetat.

Per tal d'obtenir z en funció del temps hem d'expressar l'acceleració en coordenades polars i considerar que l'acceleració en la direcció radial en el sistema de referència inercial és a_r = -g₀, dirigida cap al centre de la Terra,

El terme que redueix g₀ és l'acceleració centrífuga, que és petita en comparació amb g₀. Com que r= R+z, tenim

Integrem l'equació diferencial de segon ordre per a un mòbil que parteix de l'altura z= h amb velocitat inicial nul·la en la direcció radial; obtenim, finalment

z = h - gt²/2.