Dinàmica celeste |
Lleis de Kepler El descobriment de la llei de la gravitació Força central i Equació de la Moviment dels cossos celestes Encontres espacials Òrbita de transferència
Òrbites de la mateixa energia Trajectòria d'un projectil Moviment relatiu Caiguda d'un satèl·lit Els anells d'un planeta Moviment sota una força central i una pertorbació |
Dades de la Terra, Júpiter i el Sol L'esfera d'influència dels planetes Moviment de la Terra i de Júpiter al voltant del Sol Moviment de la sonda espacial des de la Terra cap a Júpiter Encontre de la sonda espacial amb Júpiter Moviment de la sonda espacial en l'esfera d'influència del planeta Júpiter |
|||||||||||||
|
Fins ara hem estudiat el moviment dels cossos celestes al voltant d'un centre fix de forces: el Sol (moviment dels planetes o de la Terra, moviment dels satèl·lits artificials, etc.). En aquesta página combinem els conceptes següents:
per tal d'estudiar:
Dades de la Terra, Júpiter i el SolPer tal de resoldre aquest problema necessitem les dades següents:
L'esfera d'influència dels planetesQuan es llança una sonda espacial des de la Terra cap a Júpiter, si excloem l'acció dels altres planetes, la sonda passa per tres etapes diferents:
Per tal d'estimar la magnitud relativa de les forces d'atracció suposarem que el Sol, la Terra, la sonda espacial i Júpiter coincideixen en una línia recta, com es mostra en la figura.
Comparem la força d'atracció del Sol sobre un objecte de massa m amb la força que fa la Terra sobre el mateix objecte situat en un punt de la línia que uneix els dos cossos celestes. La força d'atracció de la Terra iguala la força d'atracció que fa el Sol a una distància x mesurada des de la Terra tal que
on d = 1.496·1011 m és la distància entre el centre del Sol i el centre de la Terra. Resolem l'equació de segon grau en x i una de les arrels resulta x = 260.44·106 m, mesurada des del centre de la Terra, o bé 40.9 radis terrestres. La força d'atracció de Júpiter iguala la força d'atracció que fa el Sol a una distància x mesurada des del centre del planeta tal que
on d = 7.78·1011 m és la distància entre el centre del Sol i el centre de Júpiter. Resolem l'equació de segon grau en x i resulta x = 2.34·1010 m, mesurada des del centre de Júpiter, o bé 334.9 radis de Júpiter. A la vista d'aquestos càlculs podem preguntar-nos: a quina distància del planeta es podrà considerar que la seua força d'atracció és negligible en comparació amb la del Sol? Es defineix el radi Re de l'esfera d'influència d'un planeta com
on d és la distància entre el Sol i el planeta considerat, M la massa del planeta i Ms la massa del Sol.
Les grandàries de les esferes d'influència són molt petites en comparació amb la distància entre la Terra i Júpiter. De manera que la sonda espacial seguirà una trajectòria heliocèntrica determinada quasi exclusivament per les condicions inicials en el moment del llançament i per la força d'atracció del Sol.
Moviment de la Terra i de Júpiter al voltant del SolJúpiter descriu una òrbita el·líptica, el semieix major de la qual és a = 5.203 UA i té una excentricitat ε = 0.048. El semieix menor b val
Prenem com a radi mitjà R de l'òrbita de Júpiter la mitjana aritmètica dels semieixos, R = (a+b)/2 = 5.20 UA = 5.20·1.496·1011 m = 7.78·1011 m. Suposarem que Júpiter descriu una òrbita circular al voltant del Sol, amb un radi RJ igual al radi mitjà R.
Aïllem la velocitat VJ del planeta,
Suposarem, igualment, que la Terra descriu un moviment circular de radi RT = 1 UA = 1.496·1011 m. Apliquem la dinàmica del moviment circular uniforme per tal d'obtenir la velocitat de la Terra VT en el seu moviment de translació al voltant del Sol,
Trajectòria d'un cos celestQuan una nau espacial es mou sota l'acció de la força d'atracció del Sol o d'un planeta descriu una trajectòria que és una cónica,
L'energia E i el moment angular L són constants per ser la força d'atracció central i conservativa.
φ és l'angle entre la direcció de la velocitat (tangent a la trajectòria) i la direcció radial, com s'indica en la figura. El tipus de trajectòria depén del valor i del signe de l'energia total E,
Moviment de la sonda espacial des de la Terra cap a Júpiter
Suposarem que aquesta velocitat addicional li la proporcionem quan la sonda està a prop de la Terra però fora de la seua esfera d'influència. Coneguda la posició i la velocitat de partida determinarem l'equació de la trajectòria heliocèntrica, sota l'única influència de la força d'atracció del Sol. L'energia total i el moment angular en el punt de partida valen:
Si E < 0, la sonda espacial descriu una trajectòria el·líptica, l'afeli dela qual (màxim allunyament del Sol) és rm i el periheli (màxim apropament al Sol) és RT (el radi de la Terra). Calculem la velocitat vm del satèl·lit en l'afeli tot sabent que l'energia i el moment angular són constants en tots els punts de la trajectòria,
Si rm és menor que el radi de Júpiter RJ la nau espacial no arriba a l'òrbita de Júpiter. Calculem la velocitat mínima vT de la nau espacial, quan és llançada des de la Terra, per tal que justament arribe a Júpiter, rm= RJ. Després de fer algunes operacions arribem a l'expressió
Amb les dades
s'obté vT = 38481.7 m/s. Com que la velocitat de translació de la Terra al voltant del Sol és VT = 29711.9 m/s, la velocitat addicional que han de proporcionar els impulsors a la nau espacial en el punt de partida haurà de ser major que v0= vT - VT = 8769.8 m/s.
Encontre de la sonda espacial amb JúpiterCalculem la intersecció de l'òrbita el·líptica de la sonda espacial amb l'òrbita circular de Júpiter.
En l'equació de la trajectòria en coordenades polars posem r = RJ i aïllem l'angle θ,
Com que l'energia E és constant en tots els punts de la trajectòria, obtenim la velocitat ve de la sonda espacial en aquesta posició d'encontre,
De la constància del moment angular L obtenim l'angle φ entre el vector velocitat i la direcció radial (la que uneix el Sol amb el planeta Júpiter), mRTvT = mveRJ·sinφ Temps de l'encontre És una mica més complicat calcular el temps que tarda la sonda espacial en trobar-se amb el planeta Júpiter, emprant la llei de les àrees. El moment angular en coordenades polars s'escriu
Integrem,
L'àrea ombrejada és l'àrea de la porció d'el·lipse compresa entre x i a, menys l'àrea del triangle de base r·cos(180-θ) i altura r·sin(180-θ). Com que l'equació de l'el·lipse és
on a és el semieix major de l'el·lipse, b el semieix menor i c la semidistància focal. L'àrea de la porció d'el·lipse compresa entre x i a és
Per tal de ferla integral s'ha fet el canvi de variable x = a·sen z. Els nous límits d'integració són:
L'àrea total és
L'instant te d'encontre és proporcional a l'àrea agranada pel radi vector. Coneguts r i θ es calcula el semieix major a, que és la mitjana aritmètica dels radis mínim i màxim de l'el·lipse,
La semidistància focal és c = ε·a. El semieix menor b de l'el·lipse és Suposem que els impulsors proporcionn a la sonda espacial una velocitat addicional de 9200 m/s en el moment de la partida en les properies de la Terra. La velocitat de la sonda mesurada des del Sistema de Referència lligat al Sol és vT = 9200 + VT = 38911.9 m/s. Calculem l'energia i el moment angular en el punt de partida, E = -125.73·106·m J, L = 5.82·1015·m kgm2/s A partir d'aquestes dades obtenim el valor del paràmetre p i l'excentricitat ε de la el·lipse, p = 2.57·1011 m Calculem la posició del punt d'intersecció de la trajectòria el·líptica de la sonda espacial amb l'òrbita circular de Júpiter, θe = 159.6ş. La constància de l'energia E permet calcular la velocitat de la sonda en el punt d'encontre, ve= 9383.2 m/s. La constància del moment angular L permet calcular l'angle que forma aquesta velocitat amb la direcció Sol-Júpiter, φ = 52.9ş. L'instant que es troben la sonda i Júpiter és aquell que r = RJ = 7.78·1011 m i θ = θe = 159.6ş. Coneguda l'equacióde l'el·lipse en coordenades polars, calculem a, b, c i z1 i les introduïm en l'expressió del temps; resulta, te = 682.4 dies.
Moviment de la sonda espacial en l'esfera d'influència del planeta JúpiterQuan la sonda espacial entra en l'esfera d'influència del planeta Júpiter suposarem que l'energia potencial deguda a la força d'atracció del Sol és pràcticament constant en tots els punts de l'esfera; per tant, la trajectòria ulterior de la sonda ve determinada exclusivamente per la força d'atracció del planeta Júpiter i per la velocitat inicial i la seua direcció en el momentl que entra en l'esfera d'influència. Ens situem, per tant, en un Sistema de Referència lligat al planeta Júpiter i calculem la velocitat inicial i la seua direcció en aquest Sistema de Referència.
Siga ve la velocitat de la sonda espacial mesurada en el S.R. lligat al Sol, VJ és la velocitat del planeta Júpiter al voltant del Sol. La velocitat we de la sonda espacial, respecte d'un S.R. lligat a Júpiter, és we = ve - VJ Descomponem les velocitats en la direcció radial (Sol-Júpiter) i en una direcció perpendicular a la radial, we·sinα = ve·sinφ
- VJ Amb les dades de l'apartat anterior calculem la velocitat de la nau espacial, we= 7926.2 m/s i la seua direcció, α = -44.4ş, respecte de la recta que uneix el Sol amb Júpiter, mesurats en el S.R. lligat a aquest planeta. Per tal de determinar l'equació de la trajectòria calculem l'energia Σ i el momento angular Γ de la sonda espacial en aquest nou S.R.
Per tal de calcular el moment angular necessitem una dada més, el paràmetre d'impacte o bé la màxima aproximació rm de la sonda espacial al centre de Júpiter. Triem aquest segon paràmetre per ser més significatiu que el primer, Γ = mrm·wm·sin90ş = mwm·rm Com que l'energia total Σ és constant en tots els punts de la trajectòria, la velocitat máxima de la nau espacial en el punt de màxim apropament és
L'energia Σ i el moment angular Γ determinen l'equació de la trajectòria. La nau espacial descriu una trajectòria hiperbòlica i s'apropa al planeta fins a una distància rm on arriba a la màxima velocitat i després ix de la regió d'influència de Júpiter amb la mateixa velocitat inicial we, però girada un determinat angle, com veurem tot seguit. Amb les dades del radi de Júpiter, rJ = 69.8·106 m i de la massa de Júpiter MJ = 1.90·1027 kg, calculem l'energia total Σ = 28.79·106·m J. Amb la dada de la distància de màximo apropament, rm= 2.84·rJ radis planetaris, o bé rm= 198.2·106 m, calculem la velocitat de la sonda en aquesta posició, wm= 36553.8 m/s i el moment angular Γ = 7.25·1012·m kg·m2/s. Coneguda l'energia Σ i el moment angular Γ l'equació de la trajectòria és
L'angle que forma la direcció final de la velocitat es calcula posant r→∞, i obtenim
L'angle que formen la direcció inicial i la direcció final de la velocitat és 2θL-180, com s'aprecia en la figura. Amb les dades anteriors de l'energia Σ i del moment angular Γ tenim que ε = 1.09
Trajectòria final de la sonda espacialUna vegada la sonda espacial ha eixit de l'esfera d'influència del planeta Júpiter, passem de nou al Sistema de Referència situat en el Sol. L'eix de la hipèrbola s'ha de girar un angle determinat per tal que la velocitat inicial w forme un angle α amb la recta que uneix el Sol amb el planeta Júpiter, com es mostra en la figura. La velocitat final w’ formarà un angle β = 2θL-180 + α amb aquesta direcció.
La velocitat final v’ de la sonda serà la suma vectorial v’ = w’ + VJ
Descomponem les velocitats en la direcció radial (Sol-Júpiter) i en una direcció perpendicular a la radial. v’·sin
φ’ = w·sinβ
+ VJ Amb les dades β = 2·156.5 - 180 - 44.4 = 88.7ş, w = 7926.2 i VJ = 13028.8 m/s, obtenim v’ = 20953.8 m/s La sonda ix de l'esfera d'influència de Júpiter amb una velocitat v’, la seua distància al Sol és aproximadament igual a RJ = 7.78·1011 m. La sonda espacial es mou sota l'acció de la força d'atracció solar. L'energia i el moment angular són
L’ = mv’RJ·sinφ’ Amb les dades anteriors obtenim La trajectòria és una hipèrbola perquè l'energia és positiva. La sonda espacial s'allunya del Sol per tal de no regressar-hi mai.
Estudi energèticEn la parte dreta de la miniaplicació (applet) s'ha situat una barra que mostra els canvios energètics que experimenta la sonda espacial al llarg de la seua trajectòria. Un cos situat a una UA del centre del Sol té una energia potencial negativa igual a
Per tal que el cos isga del Sistema Solar li hem de proporcionar una energia cinètica suficient que faça l'energia total major o igual a zero. La velocitat d'escapament ve és la velocitat que cal proporcionar a un cos per tal que arribe a l'infinit amb velocitat nul·la,
No cal aportar aquesta enorme quantitat d'energia a la sonda espacial per tal que visite els planetes exteriors i s'allunye del Sistema Solar. Com que la sonda espacial es mou amb la Terra, si llancem la sonda en la direcció tangent a l'òrbita circular i en el sentit del moviment de la Terra, VT = 29711.9 m/s, la velocitat d'escapament es redueix a
Podem reduir encara més la velocitat de llançament i, per tant, l'energia que aporten els impulsors de la sonda, si aprofitem l'encontre favorable amb un planeta massiu com Júpiter, tal com hem estudiat en aquesta página. Ara bé, com hem calculat al principi d'aquesta pàgina, per tal que la sonda espacial arribe des de la Terra a l'òrbita de Júpiter és necessari proporcionar-li una velocitat superior a 8769.8 m/s. Entre el punt de partida de la sonda espacial, en les properies de la Terra, i el punt d'arrobada a les properies de Júpiter, l'energia total es manté constant i el seu valor, amb les dades que hem manejat, és E = -125.73·106·m J En eixir de l'esfera d'influència de Júpiter l'energia final és E’ = 49.8·106·m J ≥ 0, més que suficient per tal que la sonda abandone el Sistema Solar.
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. La velocitat que s'introdueix ha de ser menor de 12.0 km/s, per tal que la sonda seguisca una trajectòria el·líptica. S'observa la trajectòria seguida per la nau espacial en el camí cap a Júpiter des del llançament des de la Terra. El planeta Júpiter apareix rodejat d'un cercle de color groc que indica la grandària relativa de la seua esfera d'influència. Si la sonda arriba a Júpiter es canvia al Sistema de Referència lligat al planeta i s'observa la trajectòria hiperbòlica de la nau espacial en l'interior de la seua esfera d'influència. En la miniaplicació (applet) no s'observa tota la trajectòria, tan sols la continguda en l'esfera de radi 60 vegades el radi de Júpiter. Quan la sonda espacial ix de l'esfera d'influència de Júpiter es canvia al Sistema de Referència lligat al Sol i s'observa la trajectòria heliocèntrica completa, la inicial, des de la Terra cap a Júpiter, i la final, des de Júpiter cap avant. En la part dreta de la miniaplicació (applet) podem observar les dades de la velocitat de la sonda i de l'angle que forma la velocitat amb la direcció Sol - Júpiter. S'hi indiquen també els temps parcials en cadascuna de les etapes del moviment. La barra colorada de la dreta mostra els canvis energètics. L'energia potencial és negativa i l'energia cinètica és positiva. L'energia total (suma de les dues contribucions) està assenyalada per un segment de color clar i el valor ve indicat en milions de joules, ·106·m J. (m és la massa de la sonda). Exemple: per tal de veure la trajectòria completa introduïu les dades següents:
|
Van Allen J. Gravitational assist in celestial mechanics- a tutorial. Am. J. Phys. 71 (5) May 2003, 448-451.
Encontre d'una sonda
espacial amb Júpiter
