Dinàmica celest |
Lleis de Kepler
Força central i Equació de la trajectòria Moviment dels cossos celestes Encontres espacials Òrbita de transferència Encontre d'una sonda espacial amb Júpiter Òrbitas de la mateixa energia Trajectòria d'un projectil Moviment relatiu Caiguda d'un satèl·lit en òrbita cap a la Terra Els anells d'un planeta Moviment sota una força central i una pertorbació |
Descripció | |
|
Un moment culminant en la història de la Física va ser el descobriment fet per Isaac Newton de la llei de la Gravitació Universal: tots els objectes s'atraun els uns als altres amb una força directament proporcional al producte de les seues masses i inversament proporcional al quadrat de la distància que separa els centres. En sotmetre a una sola llei matemàtica els fenòmens físics més importants de l'univers observable, Newton va demostrar que la física terrestre i la física celest són una mateixa cosa. El concepte de gravitació va aconseguir, d'un sol colp:
La naturalesa quadràtica inversa de la força centrípeta per al cas d'òrbites circulars és pot deduir fàcilment de la tercera llei de Kepler sobre el moviment planetari i de la dinàmica del moviment circular uniforme:
Newton va comparar l'acceleració centrípeta de la Lluna amb l'acceleració de la gravetat, g = 9.8 m/s2. L'acceleració centrípeta de la Lluna és ac= v2/r = 4p 2r/P2, amb r = 3.84·108 m i P = 28 dies = 2.36·106 s; s'obté ac = 2.72·10-3 m/s2. Per tant,
Com que el radi de la Terra és 6.37·106 m i el radi de l'òrbita de la Lluna és 3.84·108 m tenim que
Per tanto,
Les acceleracions dels dos cossos estan en raó inversa del quadrat de les distàncies mesurades des del centre de la Terra.
DescripcióEn la física anterior a Newton una poma cau verticalment cao a la Terra en una trajectòria rectilínia, mentre que la Lluna descriu una òrbita quasi circular, que és una trajectòria tancada. Com poden estar relacionades aquestes dues categories de moviments? Si la poma que queia verticalment és empentada per la força de l'aire, la seua trajectòria ja no serà rectilínia sinó l'arc de una corba. Per exemple, un projectil disparat des d'un canó descriu una trajectòria parabòlica, tal com s'observava en el segle XVII en el qual va viure Newton. El salt conceptual que va dur a terme Newton va ser el d'imaginar que els projectils es podrien disparar des de dalt d'una muntanya, i descriurien trajectòries el·líptiques (la paràbola és una aproximació a l'el·lipse). Per tant, la poma i la Lluna estan caent, la diferència és que la Lluna té un moviment de caiguda permanent mentre que la poma xoca amb la superfície de la Terra. Una mateixa causa produeix, per tant, els moviments dels cossos celestes i terrestres. Un dibuix que apareix en molts llibres de text, pres del llibre de Newton "El sistema del món", il·lustra aquesta unificació.
"Si considerem els moviments dels projectils podrem entendre fàcilment que els planetes puguen ser retinguts en determinades òrbites mitjançant forces centrípetes; però una pedra projectada es va apartant de la seua senda rectilínia per la pressió del seu propi pes i obligada a descriure en l'aire una corba, quan en virtut de la sola projecció inicial hauria de continuar aquesta senda recta, en lloc de ser finalment atreta al terra; i com major és la velocitat amb la qual resulta ser projectada més lluny arriba, abans de caure a terra. Podem per això suposar que la velocitat s'incremente fins que la pedra descriga un arc de 1, 2, 5, 10, 100, 1000 milles abans de caure, de manera que al final, superant els límits de la Terra, passarà a l'espai sense tocar-la... En la figura es representen les corbes que un cos descriuiria si fóra projectat en direcció horitzontal des del cim d'una muntanya alta a més i més velocitat. Com que els moviments celestes no són pràcticament retardats per la petita o nul·la resistència dels espais on tenen lloc, suposem, per a conservar l'analogia dels casos, que en la Terra no haguera aire, o almenys que aquest està dotat d'un poder de resistència nul o molt petit. Aleshores, per la mateixa raó que un cos projectat amb menys velocitat descriu un arc menor i, proyectat amb més velocitat, un arc major, en augmentar la velocitat acabarà per arribar bastant més enllà de la circumferència de la Terra, i retornarà a la muntanya des de la qual va ser projectada. I com que les àrees descrites pel moviment del radi traçat des del centre de la Terra són proporcionals al temps de descripció, la seua velocitat en retornar a la muntanya no serà menor que al principi, per la qualcosa, retenint la mateixa velocitat, descriuirà la mateixa corba una vegada i una altra, obeint la mateixa llei". Canviem ara la imatge estàtica per un programa interactiu o miniaplicació (applet) que il·lustre la unificació de les causes dels moviments que ocorren en l'espai exterior i en la superfície de la Terra.
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Disparar. Es representa la trajectòria seguida per l'objecte. Si la seua trajectòria intersecta la superfície de la Terra, es calcula l'abast o longitud de l'arc del meridià terrestre comprés entre la direcció radial de tir i la direcció radial d'impacte. Canviem la velocitat de tir sense canviar l'altura i comparem les diferents trajectòries. Quan s'hagen acumulat diverses trajectòries es pot netejar l'àrea de treball de la miniaplicació (applet) si pitgem en el botó Esborrar. Exemples Comprovem que un projectil disparat horitzontalmente de dalt d'una muntanya situada en el pol Nort no pot caure més enllà del pol Sud, com a màxim fins el punt G marcat en el dibuix de Newton. Si se le proporciona una velocitat addicional el projectil rodejarà la Terra. Per a comprovar-ho, introduïu les dades següents en els controls d'edició respectius:
Quan posem una altura gran, com ara 20 000 km o més, es veu una gran part de la Terra; podem aleshores representar les distintes trajectòries i reproducir una imatge anàloga al dibuix de Newton que es mostra en aquesta pàgina. Calculeu la velocitat de tir per tal que el projectil descriga una trajectòria circular. Dades:
Quan l'altura és petita, per exemple 20 km o menys, la superfície de la Terra apareix plana, la trajectòria el·líptica s'aproxima a la paràbola que descriu un cos sota l'acceleració constant de la gravetat. Calculem l'abast aplicant les equacions del tir parabòlic. Un projectil es dispara des d'una altura h = 20 km amb una velocitat v =30 m/s; calculeu-ne l'abast. Preneu g = 9.8 m/s2.
|
El text entrecomillat i el dibuix de Newton citats en l'apartat Descripció s'han pres de l'article següent:
Hernández M. Fuerza y movimiento. Revista Española de Física, Vol. 10, núm. 2, 1996, 44-51.
El descobriment de
la llei de la gravitació
