Dinàmica celest |
Lleis de Kepler El descobriment de la llei de la gravitació Força central i conservativa Equació de la trajectòria Moviment dels cossos celests Trobades espacials Òrbita de transferència Trobada d'una sonda espacial amb Júpiter Òrbites de la mateixa Trajectòria de un proyectil Moviment relatiu Caiguda d'un satèl·lit en órbita cap a la Terra Els anells d'un planeta
|
Força central
i conservativa Força inversament proporcional al quadrat de la distància |
|||||||||||||||
| En aquesta pàgina, estudiarem el problema del moviment baix una força central i conservativa inversament proporcional al quadrat de la distància al centre de forces, i una pertorbació que correspon a una força inversament proporcional al cub de la distància. Obtindrem, explícitament, l'equació de la trajectòria en coordenades polars, i les representarem per a tots els casos possibles: força atractiva o repulsiva combinada amb una pertorbació atractiva o repulsiva. Considerarem també el cas en el qual la pertorbació es nul·la.
Força central i conservativaQuan un mòbil està sotmés a una força central i conservativa, es manté constant el moment angular i l'energia total de la partícula. Per a obtenir l'equació explícita de la trajectòria, expresarem les diferentes magnituds en coordenades polars. Suposem que la partícula es mou en una regió, l'energia potencial de la qual V(r) solament depèn de la distància r al centre de forces. En coordenades polars, l'energia total s'escriu:
El moment angular s'escriu
Introduïnt la segona equació en la primera, obtenim
Diem que la partícula es mou en una regió unidimensional r > 0 baix un potencial efectiu
Si la força és repulsiva l'energia total solament pot ser positiva. Suposem que l'energia de la partícula val E > 0.
Una partícula procedent de l'infinit s'aproparà al centre de forces fins a una distància r0 i tornarà de nou a l'infinit. Si la força és atractiva l'energia de la partícula pot ser positiva o negativa. El valor de l'energia total no pot ser menor que el mínim de l'energia potencial efectiva. Si l'energia de la partícula és positiva el seu moviment no està limitat, de la mateixa manera que per al cas de forces repulsives, una partícula procedent de l'infinit es pot apropar fins a una distància r0 del centre de forces per a allunyar-se posteriorment d'aquest centre.
Les equacions (1) i (2) de constància del moment angular i de l'energia constitueixen un parell d'equacions diferencials en les quals es pot eliminar el temps t, per a obtenir l'equació de la trajectòria r = r(q) integrant l'equació diferencial
Força inversament proporcional al quadrat de la distànciaSi la força que actúa sobre la partícula és central i conservativa inversament proporcional al quadrat de la distància r al centre de forces,
el resultat de la integració de (3) es l'equació d'una cónica
Els paràmetres d i e estan relacionats amb l'energia i el moment angular de la manera següent
Per a una força atractiva (a < 0) el tipus de cònica està determinat pel valor i pel signe de l'energia.
Per a una força repulsiva (a > 0) l'energia total E és sempre positiva per la qual cosa el que solament són possibles trajectòries hiperbòliques.
Quan també actua una pertorbacióConsiderem ara que sobre la partícula actua, a més, una pertorbació inversament proporcional al cub de la distància al centre de forces.
on (b > 0) es refereix a una pertorbació repulsiva i (b < 0) es refereix a una pertorbació atractiva. El potencial efectiu s'escriurà ara
Si L2+2mb > 0 la representació del potencial efectiu és similar a les de les figures que hem vist anteriorment. L'equació de la trajectòria s'obté integrant l'equació diferencial (3), la solució de la qual és
Els valors dels paràmetres d, e i k són els següents
Períodes
Observem la figura: denominarem període radial Pr al temps que triga el mòbil a donar dos pasos consecutius pel periheli o per l'afeli, i el període orbital Pq al temps necessari perquè el mòbil done una volta completa a l'origen. La relació entre els dos períodes és la següent m Pr = n Pq Altre concepte interessant, és la velocitat de precessió W de l'afeli (periheli), que es defineix com el quocient entre la distància angular Dq entre dos passos consecutius per l'afeli (periheli) i el temps que triga o període radial Pr. La distància angular és l'interval per al cual kq s'incrementa en 2p, és a dir, Dq = 2p/k. La velocitat de precessió és
Calculem ara el període radial Pr en funció dels paràmetres de la trajectòria. De l'equació de la constància del moment angular (1)
L'equació de la trajectòria relaciona r i l'angle q. Integrant el segon membre
que ens dóna la relació entre el període radial Pr i els paràmetres de la trajectòria d i e El període orbital i radial coincideixen per a un moviment no pertorbat (b = 0) i, per tant, k = 1. En aquest cas, el quadrat del període és proporcional al cub del semieix major de l'el·lipse (tercera llei de Kepler).
ActivitatsAl panell esquerre de l'applet, estan situats dos conjunts de botons de radi corresponents al grup anomenat Força, i al grup anomenat Pertorbació, per a poder assajar totes les combinacions possibles: una força atractiva o repulsiva combinada amb una pertorbació atractiva, repulsiva o nul·la. En el control d'edició anomenadExcentricitat s'introducirà un número decimal, major que la unitat si la força és repulsiva, i major que zero i menor que un, si la força és atractiva. Amb el control d'edició anomenat Pertorbació s'ha de tenir més cura, ja que ens exigeix introduir un número decimal o una fracció irreductible depenent del cas. L'etiqueta d'aquest control canvia segons la selecció efectuada en els dos grups de botons de radi. Pitjant en el botó anomenat Gràfica es representa la trajectòria. Proporcionem exemples de cadascun dels casos que es poden produir
|
||||||||||||||||
Kotkin G. L., Serbo V. G-. Problemas de Mecánica Clásica. Editorial Mir (1980)
Moviment baix una
força central i una
pertorbació
