Dinàmica celeste |
Lleis de Kepler El descobriment de la llei de la gravitació força central i Equació de la trajectòria Moviment dels cossos celestes Encontres espacials Òrbita de transferència Encontre d'una sonda espacial amb Júpiter Òrbites de la mateixa
Moviment relatiu Caiguda d'un satèl·lit Els anells d'un planeta Moviment sota una força central i una pertorbació |
Angle de tir:φ = 0  Activitats
|
|||||||||||||
|
En el capítol de Cinemàtica s'estudia el moviment dels projectils que descriuen trajectòries parabòliques en el pla horitzontal local, i suposàvem que l'acceleració de la gravetat era constant. En la pàgina “El descobriment de la llei de la Gravitació Universal” vam observar que un projectil disparat des d'una altura determinada descriu una trajectòria el·líptica en un dels focus dela qual està el centre de la Terra. Les trajectòries parabòliques són aproximacions de trajectòries el·líptiques, quan l'abast i l'altura màxima del projectil són molt petits en comparació amb el radi de la Terra. Suposarem també que la Terra no gira sobre el seu eix. L'efecte de la rotació de la Terra es descriurà en la pàgina “Desviació cap a l'est d'un cos que cau”. En aquesta pàgina determinarem la trajectòria que segueix un projectil disparat des d'una altura h amb una velocitat inicial v0 que fa un angle φ amb la direcció radial. Al llarg d'aquesta pàgina necessitarem les dades següents:
Equació de la trajectòria
Si l'energia del projectil és negativa, E < 0, la seua trajectòria és una el·lipse, su excentricitat ε<1. A partir de d i ε es calcula el semieix major a, que és la mitjana aritmètica dels radis mínim (θ = 0) i màxim (θ = π) de l'el·lipse,
La semidistància focal és c = ε·a. El semieix menor b de l'el·lipse és Velocitat del projectil en el punt d'impacteCom que l'energia és constant en tots els punts de la trajectòria, la velocitat v amb la qual impacta el projectil en la superfície de la Terra és independent de la massa m del projectil i de l'angle de tir. S'obté, en posar r = R (radi de la Terra) en l'equació de l'energia i en aïllar la incògnita v,
Temps de volPer tal de calcular el temps de vol utilizarem el mateix procediment que vam emprar quan vam deduir la fórmula del període d'un planeta a partir de la llei de les àrees. El moment angular en coordenades polars s'escriu
Integrem,
El primer membre és l'àrea agranada pel radi vector quan es mou des de la posició angular θ a la posició θ = π. Aïllem t i s' obté
Estudiem els diversos casos que es poden presentar.
L'angle de tir és φ = 0º
L'altura màxima a la qualarriba es calcula fent v = 0 en l'equació de l'energia i aïllant la incògnita r,
No podem calcular de forma senzilla el temps que tarda el projectil en impactar sobre la superfície de la Terra perquè l'acceleració no és constant. Exemple Llancem un projectil des de l'altura h = 6000 km amb velocitat inicial v0= 4500 m/s en la direcció radial r0= 6.0·106 + 6.37·106 m.
L'angle de tir és φ=180º
Exemple Llancem un projectil des de la posició r0 = 6.0·106 + 6.37·106 m amb velocitat inicial v0 = 4500 m/s i en la direcció radial, en sentit cap al centre de la Terra.
L'angle de tir és φ = 90ºAbast màxim
L'abast màxim es produeix quan el perigeu és R i l'apogeu és r0 = h + R. Com que el moment angular i l'energia són constants en tots els punts de la trajectòria i, en particular, en el perigeu i en l'apogeu, tenim que
Les dades són r0 i R i les incògnites v i v0. La velocitat de tir és
Exemple Siga h = 6000 km, ésa dir, la distància al llarg de la direcció radial és r0 = 12.37·106 m. Calculem la velocitat de tir, v0 = 4681.969 m/s. El semieix major de l'el·lipse és a = (R + r0)/2 = 14.37·106 m. El temps de vol és la meitat del període
t = P/2 = 4512 s. Posició del punt d'impacte
Com veiem en la figura, el projectil ix de la posició θ = π i impacta en la posició θ = π - α quan r = R. Si fem r = R en l'equació de la trajectòria i aïllem l'angle θ,
Exemple Seguim amb les mateixes dades dels casos anteriors:
Obtenim els valors del moment angular i de l'energia del projectil L = 5.57·1010 m kgm2/s Coneguda l'energia i el moment angular, es determina l'equació de la trajectòria, el valor del paràmetre d i l'excentricitat ε, ε = 0.372 Amb aquestes dades, si posem r = 6.37·106 m en l'equació de la trajectòria obtenim l'angle θ = 0.934 rad. La distància angular entre el punt d'impacte i la posició de tir és α = π - 0.934 = 2.20 rad Anomenem abast a la longitud de l'arc s de circumferència de la Terra que correspon a aqueesta distància angular, s = R·α = 14.03·106 m. Temps de vol
L'àrea ombrejada és l'àrea agranada pel radi vector entre les posicions angulars θ i π. En altres paraules, és la porció d'el·lipse compresa entre x i a menys l'àrea del triangle de base R·cosθ i d'altura R·sinθ, on x = -c-R·cosθ. Com que l'equació de l'el·lipse és
on a és el semieix major de l'el·lipse i b el semieix menor. L'àrea de la porció d'el·lipse compresa entre x i a és
Per tal d'integrar hem fet el canvi de variable x = a·sin z. Els nous límits d'integració són:
L'àrea ombrejada val, per tant,
Per tal de calcular l'àrea necessitem les dades següents:
Tot seguit obtenim z1, que és funció de l'angle θ = 0.934 rad de la posició d'impacte. Després de fer algunes operacions amb la calculadora obtenim el valor de l'àrea agranada pel radi vector A = 1.022·1014. Finalment, el temps de vol t és
L'angle de tir és φ < 90ºTrajectòria
Continuem amb les dades dels casos anteriors:
L'energia del projectil no canvia, però canvia el moment angular, L = 2.78·1010 m kgm2/s Coneguda l'energia i el moment angular es determina l'equació de la trajectòria, el valor del paràmetro d i l'excentricitat ε, ε = 0.886 Amb aquestes dades calculem l'angle girat per l'eix major de l'el·lipse, β = 2.83 rad. Posició del punt d'impacte
Com veiem en la figura, calculem l'angle d'impacte posant en l'equació de l'el·lipse r = R, i obtenim l'angle θ assenyalat en la figura, de la mateixa manera que en el cas anterior,
Relacionem els angles θ, α i β per tal de calcular la distància angular α entre el punt d'impacte i la posició de tir, α = 2π - θ - β Exemple Amb les dades anteriors, θ = 2.47 i β = 2.83 rad; la distància angular és α = 0.981 rad = 56.2º. Temps de vol
El temps de vol és proporcional a la suma de les àrees ombrejades de l'el·lipse. Les àrees es calculen com en el cas anterior. En primer lloc, necessitem els valors dels paràmetres de l'el·lipse:
Calculem l'àrea de la porció d'el·lipse que queda per damunt de l'eix major, que és l'àrea agranada pel radi vector des de la posició angular θ = 2.47 fins θ = π. Necessitem conéixer prèviament z1, que és funció de l'angle θ de la posició d'impacte, -R·cosθ - c = a·sin z1
El resultat és A1 = 5.1786·1013 Calculem l'àrea per baix de l'eix major agranada pel radi vector des de la posició angular β = 2.83 rad fins β = π. Necessitem conéixer prèviament z1, que és funció de l'angle β = 2.83 rad que reemplaça l'angle θ en la fórmula de l'àrea i r0 reemplaça R, -r0·cosβ - c = a·sin z1
El resultat és A2 = 3.6620·1013. El temps de vol és
L'angle de tir és φ > 90ºTrajectòria
Com veiem en la figura, la trajectòria que segueix el projectil és una el·lipse, però està girada un angle β. Aquest angle es calcula fent r = r0 en l'equació de la trajectòria,
Amb aquestes dades calculem l'angle β = 2.83 rad (color roig) que gira l'eix major de l'el·lipse, que és la solució que vam veure en el cas anterior, però també és solució l'angle β = 2π - 2.83 = 3.45 rad (color blau). Posició del punt d'impacte
En l'apartat anterior hem calculat l'angle d'impacte fent r = R en l'equació de l'el·lipse, i hem obtingut un angle θ = 2.47 rad,
Relacionem els angles θ, α i β. per tal de calcular l'angle d'impacte α, α + θ + β - π
= π que és la mateixa relació que hem obtingut en el cas anterior. Temps de vol
Aquestes dues àrees coincideixen amb les àrees A1 i A2 calculades en el cas anterior. El temps de vol és
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. S'exclouen els angles 0 i 180º perquè la seua anàlisi és més senzilla i donen lloc, a errors por desbordament en la rutina principal de càlcul. S'observa el moviment del projectil i es proporcionen les dades de la distància angular entre el punt d'impacte sobre la superfície de la Terra i el lloc del llançament, així com el temps de vol emprat pel projectil. Si la velocitat és gran pot ocórrer que el projectil es pose en òrbita al voltant de la Terra. Com a exercicis se suggereix:
|
Trajectòria d'un
projectil
