Dinàmica |
Treball i energia
El pèndol cònic Moviment sobre una cúpula semiesfèrica El pèndol simple La molla elàstica (I) La molla elàstica (II) Partícula unida a una goma Treball i energia (el bucle) |
Concepte
de treball
Força conservativa. Energia potencial |
|||||||||||||||||||
Concepte de treballS'anomena treball infinitesimal al producte escalar del vector força pel vector desplaçament,
on Ft és la component de la força al llarg del desplaçament, ds és el mòdul del vector desplaçament dr i q és l'angle que forma el vector força amb el vector desplaçament. El treball total al llarg de la trajectòria entre els punts A i B és la suma de tots els treballs infinitesimals,
Exemple La força necessària per a deformar una molla és F = 1000·x, on x és la deformació de la molla. El treball d'aquesta força es calcula mitjançant la integral:
Quan la força és constant el treball s'obté multiplicant la component de la força al llarg del desplaçament pel desplaçament. W = Ft·s Exemple Calculeu el treball d'una força constant de 12 N, el punto d'aplicació de la qual es trasllada 7 m, si l'angle entre les direccions de la força i del desplaçament són 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.
Concepte d'energia cinèticaSuposem que F és la resultant de les forces que actuen sobre una partícula de massa m. El treball d'aquesta força és igual a la diferència entre el valor final i el valor inicial de l'energia cinètica de la partícula.
En la primera línia hem aplicat la segona llei de Newton: la component tangencial de la força és igual a la massa per l'acceleració tangencial. En la segona línia, l'acceleració tangencial at és igual a la derivada del mòdul de la velocitat, i el quocient entre el desplaçament ds i el temps dt que tarda en desplaçar-se és igual a la velocitat v del mòbil. Es defineix l'energia cinètica com l'expressió
El teorema del treball-energia indica que el treball de la resultant de les forces que actuen sobre una partícula en modifica l'energia cinètica. Exemple El treball fet per la força F és -1800·0.07= -126 J.
Força conservativa. Energia potencialUn força és conservativa quan el treball d'aquesta força és igual a la diferència entre els valors inicial i final d'una funció que tan sols depén de les coordenades. Aquesta funció s'anomena energia potencial:
El treball d'una força conservativa no depén del camí seguit per a anar del punt A al punt B. El treball d'una força conservativa al llarg d'un camí tancat és zero.
Exemple
El treball infinitesimal dW és el producte escalar del vector força pel vector desplaçament: dW = F·dr= (Fxi + Fyj)·(dxi + dyj) = Fxdx + Fydy
Calculem el treball en cadascun dels trams i el treball total en el camí tancat:
El pes és una força conservativaCalculem el treball de la força pes F = -mg j quan el cos es desplaça des de la posició A, l'ordenada de la qual és yA, fins la posició B, l'ordenada de la qual és yB.
L'energia potencial Ep corresponent a la força conservativa pes té la forma funcional
on c és una constant additiva que ens permet establir el nivell zero de l'energia potencial. La força que fa una molla és conservativaCom veiem en la figura, quan una molla es deforma una londitud x fa una força sobre la partícula proporcional a la deformació x i de signe contrari a aquesta.
El treball d'aquesta força, quan la partícula es desplaça des de la posició xA a la posició xB, és
La funció energia potencial Ep corresponent a la força conservativa F val
El nivell zero d'energia potencial s'estableix de la manera següent: quan la deformació és zero, x = 0, el valor de l'energia potencial es pren com a zero, Ep= 0, de manera que la constant additiva val c = 0.
Principi de conservació de l'energiaSi sobre una partícula actua tan sols una força conservativa F el treball d'aquesta força és igual a la diferència entre el valor inicial i final de l'energia potencial:
Com hem vist en l'apartat anterior, el treball de la resultant de les forces que actuen sobre la partícula és igual a la diferència entre el valor final i inicial de l'energia cinètica,
Igualant els dos treballs obtenim l'expressió del principi de conservació de l'energia, EkA+ EpA= EkB+ EpB L'energia mecànica de la partícula (suma de l'energia potencial més l'energia cinètica) és constant en tots els punts de la seua trajectòria. Comprovació del principi de conservació de l'energia
L'energia total del cos és constant. L'energia potencial disminueix i l'energia cinètica augmenta.
Forces no conservativesPer a adonar-nos del significat d'una força no conservativa la compararem amb la força conservativa pes. El pes és una força conservativaCalculem el treball de la força pes quan la partícula es trasllada de A cap a B i, tot seguit, quan es trasllada de B cap a A.
La força de fregament és una força no conservativaQuan la partícula es mou de A cap a B, o de B cap a A, la força de fregament és oposada al moviment; el treball és negatiu perquà la força és de signe contrari al desplaçament:
Balanç d'energiaEn general, sobre una partícula actuen forces conservatives Fc i no conservatives, Fnc. El treball de la resultant de les forces que actuen sobre la partícula és igual a la diferència entre l'energia cinètica final menys la inicial,
El treball de las forces conservativas és igual a la diferència entre l'energia potencial inicial i l'energia potencial final,
Aplicant la propietat distributiva del producte escalar obtenim que
El treball d'una força no conservativa modifica l'energia mecànica (cinètica més potencial) de la partícula. Exemple 1 Un bloc de massa 0.2 kg inicia el seu moviment cap a dalt, sobre un pla de 30º d'inclinació, amb una velocitat inicial de 12 m/s. Si el coeficient de fregament entre el bloc i el pla és 0.16, determineu:
Quan el cos ascendeix pel pla inclinat,
De l'equació del balanç energètic, W = EB - EA, aïllem x = 11.5 m, h = x·sin30º = 5.75 m.
Quan el cos descendeix:
De l'equació del balanç energètic W = EA- EB, aïllem v = 9.03 m/s. Exemple 2 Una partícula de massa m llisca sobre una superfície en forma de quart de circumferència de radi R, com es mostra en la figura. Les forces que actuen sobre la partícula són:
Descomponent el pes mg al llarg de la direcció tangencial i normal escrivim l'equació de moviment de la partícula en la direcció tangencial, mat = mg·cosθ - Fr on at= dv/dt és la component tangencial de l'acceleració. Escrivim en forma d'equació diferèncial l'equació del moviment,
Calculem el treball Wr fet per la força de fregament. La força de fregament és de sentit contrari al desplaçament,
el treball fet per la força no conservativa Fr val
Si el mòbil parteix del repós, v = 0 en la posició θ = 0, quan arriba a la posició θ:
El treball de la força de fregament és igual a la diferència entre l'energia final i l'energia inicial, o bé, la suma de la variació d'energia cinètica més la variació d'energia potencial. El treball total de la força de fregament quan la partícula descriu el quart de cercle és
Per a un càlcul explícit del treball de la força de fregament vegeu l'enllaç següent: "Moviment sobre una cúpula semiesfèrica amb fregament". |
Treball i energia
