Electromagnetisme |
Camp elèctrico La llei de Coulomb El motor de Franklin Camp i potencial d'una càrrega puntual Camp i potencial de dues càrregues Dipol elèctric Línia de càrregues Llei de Gauss Model atòmic de Kelvin-Thomson La cubeta de Faraday Conductors Generador de Van de Graaff
Càrrega induïda Esfera conductora en un camp uniforme Un pèndol que Mètode de les imatges |
Camp
elèctrico en les proximitats de la superfície d'un conductor
Gruix de la capa que conté la càrrega en la superfície d'un conductor |
|||||||||||||
|
Ja hem vist que una propietat important dels conductors és que el camp en l'interior d'un conductor és zero, E = 0, i les conseqüències que se'n deriven. En aquesta pàgina continuarem l'estudi dels conductors i determinarem el mòdul i la dirección del camp elèctric en les proximitats de la superfície del conductor.
Camp elèctric en les proximitats de la superfície d'un conductorDirecció del camp elèctric La direcció del camp elèctric en les proximitats del conductor és perpendicular a la seua superfície, com anem a demostrar tot seguit. Com que el camp elèctric és conservatiu s'haurà de complir que la circulació del camp elèctric E és zero en un camí tancat.
Suposem que la direcció del camp elèctrico E en les proximitats de la superfície del conductor forma un angle θ amb aquesta superfície, com es mostra en la figura.
La circulació del camp elèctric és la suma de quatre contribucions: en el tram CD és nul·la per ser nul el camp en l'interior de un conductor. Les contribucions en els costats AD i BC són aproximadament zero per ser les seues longituds molt petites, |AD| = |BC| ≈ 0. La contribució en el costat AB haurà de ser, per tant, zero per tal que la suma total siga nul·la. Això tan sols és possible si el camp E és perpendicular a la superfície del conductor, és a dir, forma 90º amb el camí AB. Per tant, la conseqüència de que el camp elèctric siga conservatiu és que la direcció del camp elèctric en les proximitats d'un conductor és perpendicular a la superfície del conductor.
Mòdul del camp elèctric en les proximitats de la superfície d'un conductor El teorema de Gauss ens permet calcular el mòdul del camp elèctric en la superfície d'un conductor quan coneixem la distribució de càrrega en el conductor. El teorema de Gauss afirma que el flux del camp elèctric a través d'una superfície tancada és igual al quocient entre la càrrega en l'interior de la superfície i e0,
1.- Determineu la direcció del camp elèctric
2.- Trieu una superfície tancada apropiada per a calcular el flux
3.- Determineu la càrrega que hi ha en l'interior de la superfície tancada La superfície cilíndrica talla la superfície del conductor delimitant una àrea S que conté una càrrega q = s·S. 4.- Apliqueu el teorema de Gauss i aïlleu el mòdul del camp elèctric Conductor esfèricEl conductor més simple d'estudiar és un conductor esfèric carregat. Camp produït per una esfera conductora de radi R carregada amb una càrrega QPer a una distribució esfèrica i uniforme de càrrega l'aplicació del teorema de Gauss requereix les passes següents: 1.- A partir de la simetria de la distribució de càrrega determineu la direcció del camp elèctric La distribució de càrrega té simetria esfèrica; per tant, la direcció del camp és radial. 2.- Trieu una superfície tancada apropiada per a calcular el flux Prenem com a superfície tancada una esfera de radi r. El camp elèctric E és paral·lel al vector superfície dS i el camp és constant en tots els punts de la superfície esfèrica, com es veu en la figura, per la qual cosa,
El flux total és E·4p·r2 3.- Determineu la càrrega que hi ha en l'interior de la superfície tancada
Potencial de l'esfera conductoraEn la figura es representa el camp elèctric E en funció de r.
Obtenim el potencial de l'esfera conductora calculant l'àrea ombrejada en la figura,
Energia de la distribució de càrreguesCom que la càrrega Q resideix en la superfície esférica i el potencial d'aquesta càrrega és V, l'energia de la distribució de càrrega és
Gruix de la capa que conté l'excés de càrrega en la superfície d'un conductorHem demostrat que en un conductor que adquireix una càrrega elèctrica l'excés de càrrega residirá en la superfície, com a conseqüència de les repulsions entre les càrregues individuals. La càrrega es distribuirà en una capa molt prima en la superfície del conductor. La qüestió que es planteja ara és si la capa té un gruix finit o bé és infinitesimal. Camp elèctric produit per una capa esfèrica uniformement carregada
El teorema de Gauss afirma que el flux del camp elèctric a través d'una superfície tancada és igual al quocient entre la càrrega de l'interior d'aquesta superfície i e0,
Per a una distribució esfèrica i uniforme de càrrega, l'aplicació del teorema de Gauss requereix de les passes següents: 1.- A partir de la simetria de la distribució de càrrega determineu la direcció del camp elèctric La distribució de càrrega té simetria esfèrica; per tant, la direcció del camp és radial. 2.- Trieu una superfície tancada apropiada per a calcular el flux Prenem com a superfície tancada una esfera de radi r. El camp elèctric E és paral·lel al vector superfície dS i el camp és constant en tots els punts de la superfície esfèrica, com es veu en la figura, per tant,
El flux total és E·4p ·r2. 3.- Determineu la càrrega que hi ha en l'interior de la superfície tancada
4.- Apliqueu el teorema de Gauss i aïlleu el mòdul del camp elèctric L'aplicació del teorema de Gauss per a les regions r < a i r > b resulta més simple.
Potencial a una distància a < r < bEn la figura es mostra la representació gràfica del camp E en función de r.
El potencial a la distància r assenyalada en la figura és la mesura de l'àrea ombrejda. Com que el camp E és una funció discontínua de r hem de sumar dues àrees,
Energia de la distribució de càrregaL'energia de la distribució de càrrega és
on dq és la càrrega que hi ha en la capa compresa entre les superfícies esfèriques de radis r i r+dr, i V(r) és el potencial en la posició que ocupa aquesta càrrega. El volum d'aquesta capa és 4πr2·dr
Després d'un proceso d'integració i de simplificació bastant laboriós s'arriba al resultat següent
Quan a tendeix a b de manera que la capa que conté la distribució uniforme de càrrega es fa infinitesimal, la densitat de càrrega tendeix a infinit però l'energia U tendeix al valor
Aquesta és precisament l'energia d'un conductor esfèric de radi b carregat amb una càrrega Q. Hem demostrat que l'excés de càrrega en un conductor ocupa una capa de gruix nul. Com que la densitat de càrrega no pot ser infinita s'ha de tenir en compte l'estructura atòmica del metall. El camp més elevat al qual es pot arribar en les proximitats d'una superfície conductora és de l'ordre de 109 V/m. La densitat de càrrega necessària per a producir aquest camp és d'un àtom ionitzat (en color roig en la figura) per cada n àtoms superficials. Podem calcular el valor de n suposant que el radi d'un àtom és de l'ordre de R ≈ 10-10 m.
El camp en les proximitats de la superfície d'un conductor val E = σ/ε0. Si E = 109 V/m,
Si R = 10-10 m aleshores n = 576. Un de cada 576 àtoms superficiales està ionitzat. |
Conductors (II)
